Question

寫出適合下列條件的曲線方程：
（1）已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0），（2，0）并且經過(

5

2

，-

3

2

)求它的標準方程．
（2）已知雙曲線兩個焦點分別為F₁（-5，0），F₂（5，0），雙曲線上一點P到F₁，F₂距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．根據題意利用橢圓的定義，得到2a=2

10

，從而得出a=

10

，再根據c=2利用平方關系算出b²=6，即可得到所求橢圓的標準方程；
（2）根據題意設雙曲線標準方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，利用雙曲線的定義得到2a=6，可得a=3．結合c=5利用平方關系算出b²=16，即可得到該雙曲線的標準方程．

解答：解：（1）∵橢圓的焦點在x軸上，
∴設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵焦點坐標分別是（-2，0）、（2，0），且(

5

2

，-

3

2

)在橢圓上，
∴由橢圓的定義，可得
2a=

( 5 2 +2)2+(- 3 2 )2

+

( 5 2 -2)2+(- 3 2 )2

=2

10

，從而得到a=

10

，
又∵c=2，∴b²=a²-c²=6，
因此，所求橢圓的標準方程為

x2

10

+

y2

6

=1；
（2）∵雙曲線焦點在x軸上，
∴設雙曲線標準方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵雙曲線上一點P到F₁、F₂距離差的絕對值等于6，
∴根據雙曲線定義，可得2a=6，可得a=3
又∵c=5，∴b²=c²-a²=25-9=16．
因此，所求雙曲線的標準方程為

x2

9

-

y2

16

=1．

點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標準方程．著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標準方程、兩點間的距離公式等知識，屬于基礎題．