Question

設(shè)平面向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），定義運(yùn)算⊙：⊙=x₁y₂-y₁x₂．已知平面向量，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．（⊙）+（⊙）=0
B．存在非零向量a，b同時(shí)滿(mǎn)足⊙=0且•=0
C．（+）⊙=⊙+⊙
D．|⊙|²=||²||²-|•|²

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)定義不難得出B是錯(cuò)誤的，⊙=x₁y₂-y₁x₂=0，說(shuō)明向、是互相平行的向量，若•=0，說(shuō)明它們是垂直的向量．因?yàn)椴淮嬖趦蓚�(gè)非零向量，它們既平行又垂直，故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，而對(duì)于其它選項(xiàng)，可以分別證明它們是真命題．
解答：解：對(duì)于A，由定義得，⊙=x₁y₂-y₁x₂，⊙=x₂y₁-y₂x₁，所以（⊙）+（⊙）=0成立，A正確．
對(duì)于B，因?yàn)閮蓚�(gè)向量、平行的充要條件是x₁y₂-y₁x₂=0，若非零向量a，b同時(shí)滿(mǎn)足⊙=0且•=0，說(shuō)明兩個(gè)向量既平行又垂直，故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．
設(shè)對(duì)于C，設(shè)，則（+）⊙=（x₁+x₂，y₁+y₂）⊙=n（x₁+x₂）-m（y₁+y₂）=（nx₁-y₁m）+（nx₂-my₂）=⊙+⊙，故C選項(xiàng)是正確的．
 對(duì)于D，|⊙|²=（x₁y₂-y₁x₂ ）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²x₂²
||²||²-|•|²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）-（x₁x₂+y₁y₂）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²y₂²，因此D選項(xiàng)是正確的．
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查了在新定義下向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．牢記面向量的平行、垂直的充要條件，準(zhǔn)確運(yùn)用它們的坐標(biāo)運(yùn)算，是解決本題的關(guān)鍵．