Question

設平面向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），定義運算⊙：⊙=x₁y₂-y₁x₂．已知平面向量，，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．（⊙）+（⊙）=0
B．存在非零向量a，b同時滿足⊙=0且•=0
C．（+）⊙=⊙+⊙
D．|⊙|²=||²||²-|•|²

Answer 1

【答案】分析：根據定義不難得出B是錯誤的，⊙=x₁y₂-y₁x₂=0，說明向、是互相平行的向量，若•=0，說明它們是垂直的向量．因為不存在兩個非零向量，它們既平行又垂直，故B選項是錯誤的，而對于其它選項，可以分別證明它們是真命題．
解答：解：對于A，由定義得，⊙=x₁y₂-y₁x₂，⊙=x₂y₁-y₂x₁，所以（⊙）+（⊙）=0成立，A正確．
對于B，因為兩個向量、平行的充要條件是x₁y₂-y₁x₂=0，若非零向量a，b同時滿足⊙=0且•=0，說明兩個向量既平行又垂直，故B選項是錯誤的．
設對于C，設，則（+）⊙=（x₁+x₂，y₁+y₂）⊙=n（x₁+x₂）-m（y₁+y₂）=（nx₁-y₁m）+（nx₂-my₂）=⊙+⊙，故C選項是正確的．
 對于D，|⊙|²=（x₁y₂-y₁x₂ ）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²x₂²
||²||²-|•|²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）-（x₁x₂+y₁y₂）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²y₂²，因此D選項是正確的．
故選B
點評：本題考查了在新定義下向量數量積的應用，屬于基礎題．牢記面向量的平行、垂直的充要條件，準確運用它們的坐標運算，是解決本題的關鍵．