已知圓F：x2+（y-1）2=1，動圓P與定圓F在x軸的同側且與x軸相切，與定圓F相外切．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知M（0，2），是否存在垂直于y軸的直線m，使得m被以PM為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出m的方程；若不存在，說明理由．
【答案】
分析：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則|PF|=1+r．根據圓P與x軸相切，以及動圓P與定圓F在x軸的同側，可得方程
．從而可求動點P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值，再利用數形結合求解，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則|PF|=1+r．
設P（x，y），根據圓P與x軸相切，以及動圓P與定圓F在x軸的同側，可得r=y＞0，
所以，
．
化簡得：x
2=4y．
所以，動點P的軌跡C的方程為x
2=4y（y＞0）．
（Ⅱ）設
，則以PM為直徑的圓的圓心為
，半徑
，
若存在滿足題意的直線，設方程為y=a，則圓心到該直線的距離為
．
根據勾股定理，可得：該直線被圓所截得的弦長l滿足：
，即
要使l為定值，需且只需a=1．
所以，存在垂直于y軸的直線m：y=1，使得m被以PM為直徑的圓截得的弦長恒為定值，定值為2．
點評：本題通過直接法得到拋物線的軌跡方程，有助于學生進一步梳理拋物線的概念，要注意y＞0的發現．第二問實際考查的是直線與圓的位置關系問題，要求學生盡量利用幾何條件解題：弦心距、半弦長、半徑構成直角三角形，知二求一．
