Question

【題目】已知函數f（x）＝|x＋1|．

（1）若不等式f（x）≥|2x＋1|1的解集為A，且，求實數t的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，若，證明：f（ab）＞f（a）f（b）．

Answer 1

【答案】（1）（，2] （2）詳見解析

【解析】

（1）零點分區間去掉絕對值，得到解集為{x|－1≤x≤1}，由集合間的包含關系得到－1≤1－t＜t－2≤1，解得;(2)原式等價于|ab＋1|＞|a＋b|，即證|ab＋1|2＞|a＋b|2，兩邊展開，提公因式即可得證.

（1）不等式f（x）≥|2x＋1|－1，即|x＋1|－|2x＋1|＋1≥0．

當x＜－1時，不等式可化為－x－1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，這時原不等式無解；

當，不等式可化為x＋1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，這時不等式的解為；

當時，不等式可化為x＋1－（2x＋1）＋1≥0，解得x≤1，這時不等式的解為．

所以不等式f（x）≥|2x＋1|－1的解集為{x|－1≤x≤1}．

因為[1－t，t－2]A，

所以－1≤1－t＜t－2≤1，解得．

即實數t的取值范圍是（，2]．

（2）證明：因為f（a）－f（b）＝|a＋1|－|－b＋1|≤a＋1－（－b＋1）＝|a＋b|，

所以要證f（ab）＞f（a）－f（－b）成立，

只需證|ab＋1|＞|a＋b|，即證|ab＋1|2＞|a＋b|2，

也就是證明a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2成立，

即證a2b2－a2－b2＋1＞0，即證（a2－1）（b2－1）＞0．

因為A＝{x|－1≤x≤1}，，

所以|a|＞1，|b|＞1，a2＞1，b2＞1．

所以（a2－1）（b2－1）＞0成立．

從而對于任意的，都有f（ab）＞f（a）－f（－b）成立．