Question

某校要建一個面積為450平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網圍成，且在矩形一邊的鋼筋網的正中間要留一個3米的進出口（如圖）．設矩形的長為米，鋼筋網的總長度為米．

（1）列出與的函數關系式，并寫出其定義域；
（2）問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網的總長度最小？
（3）若由于地形限制，該球場的長和寬都不能超過25米，問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網的總長度最小？

Answer 1

（1）
（2）長為30米，寬為15米，所用的鋼筋網的總長度最小.
（3）長為25米，寬為18米時，所用的鋼筋網的總長度最小

試題分析：（1）根據矩形的面積求出解析式，注意函數的定義域
（2）利用基本不等式求解，注意等號成立的條件
（3）利用函數的單調性求解（導數或單調性定義）
試題解析：（1）矩形的寬為：米

定義域為
注：定義域為不扣分
（2） 
當且僅當 即時取等號，此時寬為：米
所以，長為30米，寬為15米，所用的鋼筋網的總長度最小．
（3）法一：，

當時，
 在上是單調遞減函數
當時，，此時，長為25米，寬為米
所以，長為25米，寬為18米時，所用的鋼筋網的總長度最小．
法二：設，，
則   
，
，
在上是單調遞減函數
當時，
此時，長為25米，寬為米
所以，長為25米，寬為18米時，所用的鋼筋網的總長度最小．