Question

設P為曲線C：y=

1

3

x3-x2+x上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，則點P橫坐標的取值范圍為

[0，2]

．

Answer 1

分析：根據題意知，傾斜角的取值范圍，可以得到曲線C在點P處斜率的取值范圍，進而得到點P橫坐標的取值范圍．

解答：解：設點P的橫坐標為x₀，∵y=

1

3

x3-x2+x，∴y'|_x=x0=x₀²-2x₀，
利用導數的幾何意義得x₀²-2x₀=tanα（α為點P處切線的傾斜角），
又∵α∈[0，

π

4

]，∴0≤x₀²-2x₀≤1，
∴x₀∈[0，2]
故答案為：[0，2]．

點評：本小題主要考查利用導數的幾何意義求切線斜率問題，解題時要認真審題，仔細解答，屬于基礎題．