Question

已知函數f（x）=e^x+ax（e為自然對數的底數，近似值為2.718）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）不等式f（x）＜x的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P=M，求實數a的取值范圍；
（3）當a=-1，且設g（x）=e^xlnx，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即得函數的單調區間，注意要對a分類討論；
（2）由M∩P=M，可得M⊆P，所以問題轉化為f（x）＜x在[

1

2

，2]上恒成立，進而轉化為求函數的最值問題解決；
（3）當a=-1時，求出f（x）在R上的最小值，假設存在符合條件的x₀，則x₀為方程y′=f_min（x）的解，構造函數，轉化為函數的零點問題，利用導數可以解決．

解答：解：（1）f′（x）=e^x+a，
①當a≥0時，f′（x）≥0，所以f（x）的單調增區間是（-∞，+∞）；
②當a＜0時，令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a），且當x∈（-∞，ln（-a））時，f′（x）＜0，當x∈（ln（-a），+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調減區間是（-∞，ln（-a）），單調增區間是（ln（-a），+∞）．
（2）因為M∩P=M，所以M⊆P，從而f（x）＜x在[

1

2

，2]上恒成立．
由e^x+ax＜x，得a＜1-

ex

x

在[

1

2

，2]上恒成立．
令h（x）=1-

ex

x

，x∈[

1

2

，2]，則h′（x）=

ex(1-x)

x2

，
所以h（x）在[

1

2

，2]上遞增，在[1，2]上遞減．
又h（

1

2

）=1-2

e

，h（2）=1-

e2

2

，且h（2）＜h（

1

2

），所以h_min（x）=h（2）=1-

e2

2

，所以a＜1-

e2

2

．
所以a的取值范圍是（-∞，1-

e2

2

）．
（3）由y=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，所以y′=e^x（lnx+

1

x

-1）+1．
假設存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等，
由（1）知，當a=-1時，f（x）的最小值是-（-1）+（-1）ln1=1，所以x₀為方程y′=1，即e^x（lnx+

1

x

-1）=0的解．
令t（x）=lnx+

1

x

-1，x∈（0，+∞），由t′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
知t（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，所以t（x）≥t（1）=0，
故方程lnx+

1

x

-1=0在（0，+∞）上有唯一解為1．
所以，存在符合條件的x₀，且只有1個．

點評：本題考查應用導數研究函數的單調性、最值問題，關于不等式恒成立問題，往往轉化為函數最值問題，方程的解轉化為函數零點問題，本題滲透了函數與方程思想及轉化思想．