Question

已知函數y=

3

x-

1

x

的圖象為中心是坐標原點O的雙曲線，在此雙曲線的兩支上分別取點P，Q，則線段PQ的最小值為

2

3

-2

．

Answer 1

分析：先找出兩條漸近線，一條為x=0，一條為y=

3

x，由此可知此雙曲線的對稱軸方程，求出此對稱軸與雙曲線的交點，即可求出最小距離．

解答：解：函數y=

3

x-

1

x

的導數為y′=

3

+

1

x2

＞

3

，所以函數的漸近線方程為：x=0與y=

3

x，
兩條漸近線的角的平分線與x軸所成的傾斜角為-15°，其方程為：y=tan（-15°）x=（

3

-2）x，
它與函數y=

3

x-

1

x

的交點為：（

2

2

，-

2 ( 3 -2)

2

），（-

2

2

，

2 ( 3 -2)

2

），
PQ兩點的最短距離為：2

3

-2．
故答案為：2

3

-2．

點評：本題考查雙曲線的基本性質，利用函數的導數求出函數的斜率范圍，推出雙曲線的漸近線，求出雙曲線的對稱軸方程是解題的關鍵．