Question

用反證法證明：
設三個正實數a、b、c滿足條件=2求證：a、b、c中至少有兩上不小于1.

Answer 1

證明略

[解題思路]：用反證法證題時作出正確的反設是前提，“a, b, c中至多有一個數不小于1”的反設為“a, b, c中至多有一個數不小于1”，有兩種情況“a、b、c三數均小于1”和“a、b、c中有兩數小于1”；而推出矛盾是關鍵，也是難點.
假設a, b, c中至多有一個數不小于1，這包含下面兩種情況：
（1）a、b、c三數均小于1，
即0<a<1 , 0<b<1, 0<c<1,則
∴>3與已知條件矛盾；
（2）a、b、c中有兩數小于1，
設0<a<1,  0<b<1,而c≥1，則
∴>2+>2，也與已知條件矛盾；
∴假設不成立，∴a、b、c中至少有兩個不小于1.
【名師指引】利用互為逆否的兩個命題同真同假的關系，將不易判斷真假的命題，轉化為判斷其逆否命題的真假（尤其是對否定式語句的命題），充分利用等價轉化的思想方法。正確的反設是（即否定結論）是正確運用反證法的前提，要注意一些常用的“結論否定形式”，另外，需注意作出的反設必須包括與結論相反的所有情況。