Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），P為線段OA的垂直平分線上一點(diǎn)，若∠OPA為銳角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是

（-∞，1）∪（3，+∞）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出直線OA，PE的方程，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)∠OPA為銳角對(duì)應(yīng)的

OP

•

AP

＞0即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

解答：解：因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）AO的中點(diǎn)E（2，1）
所以：L_OA：y=

1

2

x
L_PE：y-1=-2（x-2），即y=-2x+5．
設(shè)P（x，-2x+5）．
若∠OPA為銳角，則

OP

•

AP

=（x，-2x+5）•（x-4，-2x+3）＞0⇒x²-4x+3＞0⇒x＞3或x＜-1．
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．如果已知向量的坐標(biāo)，求向量的夾角，我們可以分別求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出兩個(gè)向量的模及他們的數(shù)量積，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解．