Question

請考生在第22，23，24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清題號．
如圖，∠BAC的平分線與BC和外接圓分別相交于D和E，延長AC交過D，E，C三點的圓于點F．
（Ⅰ）求證：EF²=ED•EA；
（Ⅱ）若AE=6，EF=3，求AF•AC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接CE，DF，由AE平分∠BAC，知∠BAD=∠DAC，在圓內由∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE，知∠EAF=∠EFD，導出△AEF∽△FED，由此能夠證明EF²=ED•EA．
（Ⅱ）由EF²=ED•EA，EF=3，AE=6，知ED=

3

2

，AD=

9

2

，由此能求出AF•AC的值．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，連接CE，DF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在圓內又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE，
∴∠EAF=∠EFD，
又∠AEF=∠FED，
∴△AEF∽△FED，∴

EF

ED

=

AE

EF

，
∴EF²=ED•EA．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EF²=ED•EA，
∵EF=3，AE=6，
∴ED=

3

2

，AD=

9

2

，
∴AC•AF=AD•AE=6×

9

2

=27．…（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線段的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角形相似的靈活運用．