Question

設a（0＜a＜1）是給定的常數，f（x）是R上的奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，若f(

1

2

)=0，f（log_at）＞0，則t的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  a

  )
• B、(1，

  1

  a

  )
• C、(0，

  1

  a

  )
• D、(1，

  1

  a

  )∪(0，

  a

  )

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，可知函數在（-∞，0）上單調遞增，且有f（-

1

2

）=f(

1

2

)=0，則f（log_a^t）＞0轉化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，再利用底數小于1的對數函數是減函數即可求t的取值范

解答：解：∵f（x）是R上的奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，
∴在（-∞，0）上是減函數，又f（

1

2

）=0，
可得f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=0，
∴f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數值為正
∴f（log_a^t）＞0轉化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，
又∵0＜a＜1
∴log_at＞

1

2

=log_aa 

1

2

，可得0＜a＜

a

，
-

1

2

＜log_at＜0，1＜a＜

1

a

，
故選D

點評：本題考查了奇函數的單調性的性質：對稱區間上的單調性相同的應用，指數函數的單調性的應用，解題的關鍵是根據已知 得到f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數值為正