Question

（12分）
已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，為的重心，為的中點，在上，且；

（1）求證：；
（2）當二面角的正切值為多少時，
平面；
（3）在（2）的條件下，求直線與平面所成角
的正弦值；

Answer 1

(1)略
(2) 當二面角P-CD-A的正切值為2時，FG⊥平面AEC
(3)

（1）連結CG并延長交PA于H，連結BH
∵G是△PAC的重心    ∴CG:GH="2:1  "
∵CF:FB="2:1   " ∴CG:GH=CF:FB   ∴FG∥BH
∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥AC   ∴AC⊥平面PAB
∴    AC⊥BH  ∵FG∥BH  ∴FG⊥AC ------------4分
（2）如圖所示，以A為坐標原點建立空間直角坐標系

∵AB=AC=2且AB⊥AC ∴∠ACB=45° 在直角梯形ABCD中  
∵∠BCD=90°   ∴∠ACD=45°∵AC="2   " ∴AD=CD=   
∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥CD   ∵CD⊥AD   ∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD   ∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角
∴A(0,0,0)  C(,,0)  D(0,,0)  B(,,0)
設P(0,0,) ∴H(0,0,)  E(,,)  
∵FG⊥平面AEC   ∴FG⊥AE∵FG∥BH   ∴BH⊥AE
∴=(,,)   =(,,)
∴   ∴   ∴PA= 
∴∠PDA="2 " ∴當二面角P-CD-A的正切值為2時，FG⊥平面AEC   ------8分
（3）∵BH∥FG   ∴FG與平面PBC所成的角等于BH與平面PBC所成的角
∵=（，，） =（0，，0） =（，，）
設平面PBC的法向量=(x,y,z)   ∴   ∴ 令z="1 " ∴=(2,0,1)
∴   設直線FG與平面PBC所成的角為
∴   ∴直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為 --12分