Question

拋物線y²=4x上一定點P（x₀，2），直線l的一個方向向量

d

=(1，-1)
（1）若直線l過P，求直線l的方程；
（2）若直線l不過P，且直線l與拋物線交于A，B兩點，設直線PA，PB的斜率為k_PA，k_PB，求k_PA+k_PB的值．

Answer 1

分析：（1）把P點坐標代入拋物線方程，得到P點橫坐標，由直線l的方向向量得到直線l的斜率，由點斜式得直線l的方程；
（2）設 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線的斜率為-1，設不過點P的直線方程為y=-x+b，代入拋物線方程得y²+4y-4b=0，利用根與系數的關系及斜率公式，計算k_PA+k_PB=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

的值，從而得出結論．

解答：解：（1）由拋物線y²=4x上一定點P（x₀，2），
則4=4x₀，∴x₀=1．故P（1，2）．
∵直線l的一個方向向量

d

=(1，-1)，∴直線l的斜率為-1．
∴過P（1，2）的直線l的方程為y-2=-1×（x-1），
即x+y-3=0；
（2）設 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線的斜率為-1．
設不過點P的直線方程為y=-x+b，
由

y2=4x y=-x+b

，得y²+4y-4b=0，則y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），
∴k_PA+k_PB=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

=

y1-2

y12 4 -1

+

y2-2

y22 4 -1

=

4

y1+2

+

4

y2+2

=

4(y1+y2+4)

(y1+2)(y2+2)

=0．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量的數量積運算，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常采用聯立方程組，化為關于x的方程后利用一元二次方程根與系數的關系解決，是難題．