Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km, ,為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm。
（I）按下列要求寫出函數關系式：
①設，將表示成的函數關系式；
②設，將表示成的函數關系式。
（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短。

Answer 1

（I）①
②
（Ⅱ）選擇函數模型①，P位于線段AB的中垂線上且距離AB邊處。

本小題考查函數最值的應用。
（I）①由條件可知PQ垂直平分AB，，則
故，又，所以
。
②，則，所以，
所以所求的函數關系式為。
（Ⅱ）選擇函數模型①。
。
令得，又，所以。
當時，，是的減函數；時，，是的增函數。
所以當時。當P位于線段AB的中垂線上且距離AB邊處。