Question

袋中裝有大小相等的3個白球，2個紅球和n個黑球，現從中任取2個球，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，每取得一個黑球0分，用ξ表示所得分數，已知得0分的概率為

1

6

．試求：
（1）袋中黑球的個數n；
（2）ξ的概率分布及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意知從袋中取球且取到兩個黑球的概率是

1

6

，試驗包含的所有事件是從n+5個球中任取2球，而滿足條件的事件是取到兩個黑球，根據所給的概率列出方程，解方程即可．
（2）用ξ表示所得分數，ξ可能的取值0，1，2，3，4．當變量是0時表示取到兩個黑球，變量為1表示一黑一白，變量為2表示取到兩個白球或是一紅一黑，變量為3表示取到一白一紅，變量為4表示取到兩個紅球，根據變量對應的事件做出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由題意知從袋中取球且取到兩個黑球的概率是

1

6

，
從n+5個球中任取2球有C_n+5²種結果，
而取到兩個黑球有C_n²種結果，
∴p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，
∴n²-3n-4=0，
解得n=-1（舍去）或n=4
即袋中有4個黑球．

（2）用ξ表示所得分數，ξ可能的取值0，1，2，3，4．
當變量是0時表示取到兩個黑球，變量為1表示一黑一白，變量為2表示取到兩個白球或是一紅一黑，
變量為3表示取到一白一紅，變量為4表示取到兩個紅球，
根據變量對應的事件做出概率，
∵p(ξ=0)=

1

6

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，P(ξ=2)=

C 2 3 + C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，
P(ξ=3)=

C 1 3 ? C 1 2

C 2 9

=

1

6

，P(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

，
∴ξ的概率分布列為
∴Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．