Question

【題目】已知函數的導函數為，且對任意的實數都有（是自然對數的底數），且，若關于的不等式的解集中恰有唯一一個整數，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用導數構造函數exf（x）＝x2+2.5x+c，求得f（x）＝（x2+2.5x+1）e﹣x，再求導研究其單調性極值與最值并且畫出圖象即可得出．

∵f'（x）＝e﹣x（2x+2.5）﹣f（x），

∴ex[f（′x）+f（x）]＝2x+2.5，

∴exf（x）＝x2+2.5x+c，

∵f（0）＝1，∴1＝0+0+c，解得c＝1

∴f（x）＝（x2+2.5x+1）e﹣x，

∴f′（x）＝﹣（x2x）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x）e﹣x．

令f′（x）＝0，解得x＝1或x，

當x或x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

當x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞減增，

可得：x＝1時，函數f（x）取得極大值，x時，函數f（x）取得極小值，

∵f（﹣2）＝0，f（﹣1）e，f（0）＝1＞0，

∴e＜m≤0時，f（x）﹣m＜0的解集中恰有唯一一個整數﹣1．

故m的取值范圍是（e，0]，

故選：A．