Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

9

=1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F₁、F₂．
（1）求以F₁、F₂為頂點(diǎn)，以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線E的方程；
（2）M為雙曲線E上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)P (0，

16

3

)，求|MP|取最小值時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）通過雙曲線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與頂點(diǎn)，即可求出以F₁、F₂為頂點(diǎn)，以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線E的方程；
（2）設(shè)出M坐標(biāo)，直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MP|的表達(dá)式，代入雙曲線方程，直接利用二次函數(shù)求出表達(dá)式取得最小值時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
則a²=7   b²=16∴b²=9…（3分）
所求雙曲線方程：

x2

7

-

y2

9

=1…（6分）
（2）設(shè)M（x，y），
|MP|2=x2+(y-

16

3

)2=

7y2

9

+7+(y-

16

3

)2=

16

9

(y-3)2+

175

9

(y∈R)…（9分）
當(dāng)y=3時(shí)，|MP|²最小，|MP|最小．
代入方程得，M(±

14

，3)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線才的求法，二次函數(shù)最值的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．