Question

已知方程x³+ax²+bx+c=0的三個實根可分別作為一橢圓，一雙曲線、一拋物線的離心率，則a²+b²的取值范圍是（　　）

• A．(

  5

  ，+∞)
• B．[

  5

  ，+∞)
• C．[5，+∞）
• D．（5，+∞）

Answer 1

分析：利用拋物線的離心率為1，求出c=-1-a-b，分解函數的表達式為一個一次因式與一個二次因式的乘積，通過函數的零點即可推出a，b的關系利用線性規劃求解a²+b²的取值范圍即可．

解答：解：設f（x）=x³+ax²+bx+c，由拋物線的離心率為1，可知f（1）=1+a+b+c=0，故c=-1-a-b，
所以f（x）=（x-1）[x²+（1+a）x+a+b+1]的另外兩個根分別是一個橢圓一個雙曲線的離心率，
故g（x）=x²+（1+a）x+a+b+1，有兩個分別屬于（0，1），（1，+∞）的零點，
故有g（0）＞0，g（1）＜0，即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，
利用線性規劃的知識，可確定a²+b²的取值范圍是（5，+∞）．
故選D．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，簡單線性規劃，考查計算能力．