Question

已知點A是拋物線y²=2px（p＞0）上一點，F為拋物線的焦點，準線l與x軸交與點K，已知|AK|=

2

|AF|，三角形AFK的面積等于8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）過該拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦的中點分別為G，H．求|GH|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A（x₀，y₀），因為拋物線的焦點F（

p

2

，0），準線的方程為：x=-

p

2

，K（-

p

2

，0），作AM⊥l于M，則|AM|=x₀+

p

2

=|AF|，由此能求出p．
（Ⅱ）由y²=8x，得F（2，0），設l₁的方程為y=k（x-2），l₂的方程為y=-

1

k

（x-2）．由

y2=8x y=k(x-2)

 得G（2+

4

k2

，

4

k

），同理可得H（2+4k²，-4k），由此能求出|GH|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₀，y₀），
因為拋物線的焦點F（

p

2

，0），
準線的方程為：x=-

p

2

，K（-

p

2

，0），
作AM⊥l于M，，
則|AM|=x₀+

p

2

=|AF|
又|AK|=

2

|AF|得|AK|=

2

|AM|，
△AKM即為等腰直角三角形，
∴|KM|=|AM|=x₀+

p

2

，即A（x₀，x₀+

p

2

），
而A點在拋物線上，
∴(x0+

p

2

)2=2px₀，
∴x₀=

p

2

，于是（

p

2

，p）．
又∵S_△AFK=

1

2

•|KF|•|y₀|=

1

2

•p•p=

p2

2

=8，
p=4．
（Ⅱ）由y²=8x，得F（2，0），
顯然直線l₁，l₂的斜率都存在且都不為0．
設l₁的方程為y=k（x-2），則l₂的方程為y=-

1

k

（x-2）．
由

y2=8x y=k(x-2)

 得G（2+

4

k2

，

4

k

），
同理可得H（2+4k²，-4k）
則|GH|²=(

4

k2

-4k)2+(

4

k2

+4k)2
=16（k⁴+

1

k4

+k²+

1

k2

）≥64．（當且僅當k²=

1

k2

時取等號）
所以|GH|的最小值是8．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．