Question

已知點A是拋物線y²=2px（p＞0）上一點，F為拋物線的焦點，準線l與x軸交與點K，已知|AK|=|AF|，三角形AFK的面積等于8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）過該拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦的中點分別為G，H．求|GH|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設A（x，y），因為拋物線的焦點F（，0），準線的方程為：x=-，K（-，0），作AM⊥l于M，則|AM|=x+=|AF|，由此能求出p．
（Ⅱ）由y²=8x，得F（2，0），設l₁的方程為y=k（x-2），l₂的方程為y=-（x-2）．由 得G（2+，），同理可得H（2+4k²，-4k），由此能求出|GH|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設A（x，y），
因為拋物線的焦點F（，0），
準線的方程為：x=-，K（-，0），
作AM⊥l于M，，
則|AM|=x+=|AF|
又|AK|=|AF|得|AK|=|AM|，
△AKM即為等腰直角三角形，
∴|KM|=|AM|=x+，即A（x，x+），
而A點在拋物線上，
∴=2px，
∴x=，于是（，p）．
又∵S_△AFK=•|KF|•|y|=•p•p==8，
p=4．
（Ⅱ）由y²=8x，得F（2，0），
顯然直線l₁，l₂的斜率都存在且都不為0．
設l₁的方程為y=k（x-2），則l₂的方程為y=-（x-2）．
由 得G（2+，），
同理可得H（2+4k²，-4k）
則|GH|²=+
=16（k⁴++k²+）≥64．（當且僅當k²=時取等號）
所以|GH|的最小值是8．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．