Question

【題目】已知點(diǎn)和直線，直線過直線上的動(dòng)點(diǎn)且與直線垂直，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)

（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）設(shè)直線與軌跡相交于另一點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，求的最小值

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】

（I）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，由拋物線定義可得到所求軌跡方程；（II）由題意可知，直線斜率存在，且斜率不為零，設(shè)，，與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入韋達(dá)定理，結(jié)合基本不等式求得最小值.

（I）連接

為線段的垂直平分線

即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離

由拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為：

（II）由題意可知，直線斜率存在，且斜率不為零

設(shè)，，直線，

將直線方程代入拋物線方程可得：

則

又 ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)