Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據對數的性質可知真數大于零，進而確定x的范圍，求得函數的定義域．
（2）利用函數解析式可求得f（-x）=-f（x），進而判斷出函數為奇函數．
（3）根據當a＞1時，f（x）在定義域{x|-1＜x＜1}內是增函數，可推斷出f（x）＞0，進而可知

x+1

1-x

＞1進而求得x的范圍．

解答：解：（1）f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），則

x+1＞0 1-x＞0

解得-1＜x＜1．
故所求定義域為{x|-1＜x＜1}．
（2）f（x）為奇函數
由（1）知f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
故f（x）為奇函數．
（3）因為當a＞1時，f（x）在定義域{x|-1＜x＜1}內是增函數，
所以f(x)＞0?

x+1

1-x

＞1．
解得0＜x＜1．
所以使f（x）＞0的x的取值范圍是{x|0＜x＜1}．

點評：本題主要考查了函數的定義域，奇偶性的判斷和單調性的應用．要求考生對函數的基本性質熟練掌握．