Question

【題目】已知函數f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）證明：當 a＞2時，f（x）在 R上是增函數；
（2）若函數f（x）存在兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由函數f（x）=2|x+1|+ax（x∈R），

得 ，

當a＞2時，則a+2＞0，a﹣2＞0，

上述函數在每一段上都是增函數，

且它們在x=﹣1處的函數值相同，

∴當 a＞2時，f（x）在 R上是增函數

（2）解：根據（1），若函數存在兩個零點

則滿足 ，

解得0＜a＜2，

∴函數f（x）存在兩個零點，a的取值范圍為（0，2）

【解析】（1）首先，去掉絕對值，然后，將函數 f（x）寫成分段函數的形式，針對x的取值情況，進行每一段上判斷函數為增函數即可；（2）則根據（1），當x≥﹣1，a+2＞0，當x＜﹣1，a﹣2＜0，f（﹣1）=﹣a＜0，求解a 的取值范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數的零點與方程根的關系，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點才能得出正確答案．