Question

【題目】已知橢圓中心在坐標原點，焦點在軸上，且過點，直線與橢圓交于兩點（兩點不是左右頂點），若直線的斜率為時，弦的中點在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若在橢圓上有相異的兩點（三點不共線），為坐標原點，且直線，直線，直線的斜率滿足，求證：是定值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）設橢圓的標準方程為，，將點代入橢圓方程，兩式作差，根據直線的斜率以及弦的中點在上即可求解.

（2）設直線：，，代入橢圓方程，運用判別式大于，以及韋達定理，由條件解得，再由兩點間的距離公式，化簡可得定值.

（1）設橢圓的標準方程為，

由題意可得，兩式作差可得，

又，，代入上式可得，

又因為橢圓過過點，代入橢圓方程可得，

所以橢圓的方程為：.

（2）證明：設直線：，，

，

即

，

即為，

又三點不共線，可得，

則①，

將代入橢圓，

可得，

則②

且，

化為 ③

將②代入①可得，解得，

則，

即有