Question

【題目】在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，SD底面ABCD,SD=2，其中分別是的中點，是上的一個動點．

(1)當點落在什么位置時，∥平面，證明你的結論；

(2)求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）當點為的中點時，∥平面。證明見解析；（2）。

【解析】

（1）當點P為SD的中點時，AP∥平面SMC，證明如下：連接PN，證明PN∥DC且，推出AM∥DC且，得到AP∥MN然后證明AP∥平面SMC．

（2）求出點N到平面ABCD的距離為h=1，然后求解三棱錐B﹣NMC的體積．

(1)當點為的中點時，∥平面。證明如下：

由三視圖知該多面體是四棱錐，其底面邊長為的正方形，側棱底面，

且．

連接，

∵分別是的中點，

∴∥且，

又是正方形的邊的中點，

∴∥且，

∴∥且，即四邊形是平行四邊形，

∴∥，又平面，平面，

∴∥平面．

(2)∵點到平面的距離為，∴點到平面的距離為，

∵三棱錐的體積滿足：

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