Question

數列的前項和為，若，點在直線上．
⑴求證：數列是等差數列；
⑵若數列滿足，求數列的前項和；
⑶設，求證：．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查等比數列、等差數列、不等式等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力.第一問，由于點在直線上，所以將點代入得到與的關系式，兩邊同除以，湊出新的等差數列，并求出首項個公差；第二問，先利用第一問的結論求出的通項公式，得到的表達式，由求，將得到的結論代入到中，用錯位相減法求，在解題過程中用到了等比數列的前n項公式；第三問，先將第二問的結論代入，利用分組求和的方法先求出，當時，具體比較結果與的大小，當時，得到的數都比的結果大，所以都大于，所以不等式成立.
試題解析：（1）∵點在直線（）上，
∴，
兩邊同除以，得，，
于是，是以3為首項，1為公差的等差數列.
（2）∵，∴，
∴當時，，
當時，，
∴
∴，
∴

∴

∴
∴.
（3）∵，
∴



當時，，
當時，，
當時，，
所以.