Question

設函數，其圖象在點A（1，f（1）），B（m，f（m））處的切線的斜率分別為0，-a．
（1）求證：；
（2）若函數f（x）的遞增區間為[s，t]，求|s-t|的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：因為f′（x）=ax²+2bx+c…（1分）
于是依題意有f′（1）=a+2b+c=0，①…（1分）
f′（m）=am²+2bm+c=-a，②…（1分）
又由a＜b＜c，可得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0，
由①得c=-a-2b，
∵a＜b＜c，a＜0
∴③…（2分）
將c=-a-2b代入②得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有實根，故其判別式△=4b²+8ab≥0，
由此可得，
解得或④…（2分）
由③、④即可得；　　…（1分）
（2）解：由于f′（x）=ax²+2bx+c的判別式△′=4b²-4ac＞0，…（1分）
所以方程a²+2bx+c=0（*）有兩個不相等的實數根，設為x₁，x₂，
又由f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一個根，記x₁=1，…（1分）
則由根與系數的關系得，即，
當x＜x₂或x＞1時，f'（x）＞0；當x₂＜x＜1時，f'（x）＞0，…（1分）
所以函數f（x）的單調遞增區間為[x₂，1]
由題設[x₂，1]=[s，t]，…（1分）
因此，
由（1）知，所以|s-t|∈[2，4）．…（1分）
分析：（1）求導函數f′（x）=ax²+2bx+c，依題意有f′（1）=a+2b+c=0，f'（m）=am²+2bm+c=-a，結合a＜b＜c，即可得，將c=-a-2b代入f′（m）=am²+2bm+c=-a得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有實根，故其判別式△=4b²+8ab≥0，從而可得或，故問題得證；
（2）由于f'（x）=ax²+2bx+c的判別式△′=4b²-4ac＞0，所以方程a²+2bx+c=0有兩個不相等的實數根，設為x₁，x₂，
由于f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一個根，記x₁=1，利用根與系數的關系，可知函數f（x）的單調遞增區間為[x₂，1]，從而[x₂，1]=[s，t]，進而可得，利用，可求|s-t|的范圍．
點評：本題考查的重點是導數知識的運用，考查不等式的證明，考查函數的單調性，同時考查了根與系數關系的運用，綜合性強．