Question

已知橢圓C的方程為：，其焦點在x軸上，離心率．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P（x，y）滿足，其中M，N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值．
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓焦點在x軸上，離心率，即可求出橢圓的標準方程；
（2）假設M，N的坐標，利用向量條件尋找坐標之間的關系，結合點M，N在橢圓上，即可證明為定值；
（3）由（2）知點P是橢圓上的點，根據橢圓的定義可得該橢圓的左右焦點滿足|PA|+|PB|為定值．
解答：（1）解：由，b²=2，解得，故橢圓的標準方程為．
（2）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵點M，N在橢圓上，
∴
設k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
故
=，
即（定值）
（3）證明：由（2）知點P是橢圓上的點，
∵，
∴該橢圓的左右焦點滿足為定值，
因此存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值．
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查向量知識的運用，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是利用向量知識，將向量坐標化．