Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F分別是AB，PB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：EF⊥CD；
（Ⅲ）若G是線段AD上一動點，試確定G點位置，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）由已知中E，F分別是AB，PB的中點，由三角形中位線的性質，我們易得EF∥AP，結合線面平行的判定定理，即可得到EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由于底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，結合線面垂直的判定定理，易得CD⊥平面PAD，進而根據線面垂直的定義得到CD⊥PA，即EF⊥CD．
（III）由圖分析可得G是AD的中點時，GF⊥平面PCB，取PC中點H，連接DH，HF，根據線面垂直的判定定理，我們易得DH⊥平面PCB，結合DH∥GF，即可得到GF⊥平面PCB．

解答：解：
（Ⅰ）證明：∵E，F分別是AB，PB的中點，∴EF∥AP．
又∵EF?平面PAD，AP?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．（4分）
（Ⅱ）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥CD．
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．∴CD⊥平面PAD，
又∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA．又∵EF∥PA，∴EF⊥CD．（8分）
（Ⅲ）解：G是AD的中點時，GF⊥平面PCB．證明如下：（9分）
取PC中點H，連接DH，HF．
∵PD=DC，∴DH⊥PC．
又∵BC⊥平面PDC，∴BC⊥DH，∴DH⊥平面PCB．∵HF

∥

.

1

2

BC

∥

.

DG，
∴四邊形DGFH為平行四邊形，∴DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，其中熟練掌握空間中直線與平面平行的判定定理，及空間直線與平面垂直的判定方法是解答此類問題的關鍵．