Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=2，F₁，F₂是左，右焦點，過F₂作x軸的垂線與雙曲線在第一象限交于P點，直線F₁P與右準線交于Q點，已知

F1P

•

F2Q

=-

15

64

（1）求雙曲線的方程；
（2）設過F₁的直線MN分別與左支，右支交于M、N，線段MN的垂線平分線l與x軸交于點G（x₀，0），若1≤|NF₂|＜3，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為雙曲線的離心率e=2，所以可得含a，c的等式，再由

F1P

•

F2Q

=-

15

64

，可求出a值，結合a，b，c的關系式，就能求出b，雙曲線的方程可知．
（2）因為直線MN過F₁點，可設出點斜式方程，與雙曲線方程聯立，求出兩根之和，兩根之積，再因為線段MN的垂線平分線l與MN斜率互為負倒數，且過MN中點，所以線段MN的垂線平分線l方程可以寫出，再因為可用線段MN的垂線平分線l與x軸交于點G（x₀，0），可用含k的式子表示x₀，再根據1≤|NF₂|＜3，求x₀的范圍即可．

解答：解：（1）∵e=2⇒c=2a，F₁（-2a，0），F₂（2a，0），P（2a，m）m=|PF₂|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），
設Q(

a

2

，t)∵F₁，Q，F₂三點共線∴t=

15a

8

∵

F1Q

•

F2Q

=-

15

64

得a²=1
∴x2-

y2

3

=1
（2）設MN：y=k（x+2）代入3x²-y²=3得：（3-k²）x²-4k²x-4k²-3=0△＞0?k²+1＞0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵x1+x2=

4k2

3-k2

∴l：y-

6k

3-k2

=-

1

k

(x-

2k2

3-k2

)
∵l過Q（x₀，0）∴x0=

8k2

3-k2

∵|NF₂|=2x₁-1且|NF₂|∈[1，3）
∴x₁∈[1，2）

y12=k2(x1+2)2 y12=3x12-3

⇒k2=

3x12-3

(x1+2)2

令f(x1)=

x12-1

(x1+2)2

∵f′(x1)=

2(2x1+1)

(x1+2)3

＞0
∴f（x₁）在x₁∈[1，2）上單調遞增
得 k2∈[0，

9

16

)∵x0=8(-1+

3

3-k2

)∴x0∈[0，

24

13

)

點評：本題考查了雙曲線方程的求法，以及直線與雙曲線位置關系的判斷，做題時要認真分析．