給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為
，且其短軸上的一個端點到
的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點
是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線
，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．
(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)垂直.
解析試題分析：(Ⅰ)利用焦點坐標求出
，利用短軸上的一個端點到的距離為，求出
，解出
，
，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準圓的半徑，直接寫出準圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當中有一條直線的斜率不存在時，②當的斜率都存在時.
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為. 2分
易知準圓半徑為
，
則準圓方程為. 4分
(Ⅱ)①當中有一條直線的斜率不存在時，
不妨設
的斜率不存在，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為
，
當的方程為
時，此時與準圓交于點
，
，
此時經過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是
或
，
即
為或，顯然直線垂直； 6分
同理可證直線的方程為
時，直線也垂直． 7分
②當的斜率都存在時，設點
，其中
.
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，
由
消去
，得
.
由
化簡整理得，
. 因為，
所以有
. 10分
設直線的斜率分別為
，因為與橢圓只有一個公共點，
所以滿足方程，
所以
，即垂直． 12分
綜合①②知，垂直． 13分
考點：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.
口算題卡北京婦女兒童出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，設AB，CD為⊙O的兩直徑，過B作PB垂直于AB，并與CD延長線相交于點P，過P作直線與⊙O分別交于E，F兩點，連結AE，AF分別與CD交于G、H
（Ⅰ）設EF中點為
，求證：O、、B、P四點共圓
（Ⅱ）求證:OG =OH.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線
上，A，C關于
軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分
；
（Ⅱ）若點A坐標為
，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
經過點
且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
．點
、
在軌跡上，且關于
軸對稱，過線段
（兩端點除外）上的任意一點作直線
，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點
、
．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：
；
（3）若點到直線
的距離等于
，且△
的面積為20，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率為
，直線
:
與以原點為圓心、以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左焦點為
，右焦點
，直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于點
，
線段
垂直平分線交于點
，求點的軌跡
的方程；
（Ⅲ）設與
軸交于點
，不同的兩點
在上，且滿足
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知定圓
的圓心為
，動圓
過點
，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為
．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點
為曲線上一點，試探究直線：
與曲線是否存在交點? 若存在，求出交點坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：
右焦點的直線
交
于A,B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為
.
(Ι)求M的方程；
（Ⅱ）C,D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值
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的左頂點為
，
是橢圓
上異于點
與點
，求
的值；
，求