Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求；

（2）證明：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】試題分析：（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，故切線方程為，將點(diǎn)代入求；（2）曲線與直線只有一個交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有零點(diǎn)．一般思路往往利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，從而判斷函數(shù)大致圖象，再說明與軸只有一個交點(diǎn)．本題首先入手點(diǎn)為，當(dāng)時， ，且， ，所以在有唯一實(shí)根．只需說明當(dāng)時無根即可，因?yàn)?/span>，故只需說明，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題處理．

（1）， ．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．由題設(shè)得， ，所以．

（2）由（1）得， ．設(shè)．由題設(shè)得．當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增， ， ，所以在有唯一實(shí)根．當(dāng)時，令，則． ， 在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．所以．所以在沒有實(shí)根，綜上， 在上有唯一實(shí)根，即曲線與直線只有一個交點(diǎn)．