Question

【題目】如圖，在三棱柱中，和均是邊長為2的等邊三角形，點為中點，平面平面.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)先根據等腰三角形性質得A1O⊥AC，再根據面面垂直性質定理即得結論，（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面A1BC1的法向量，根據向量數量積得向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余關系求結果.

詳解：

（Ⅰ）證明：∵AA1=A1C，且O為AC的中點，

∴A1O⊥AC，

又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交線為AC，又A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC

（Ⅱ）如圖，以為原點，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．

由已知可得，, ，

∴，，，

設平面A1BC1的法向量為 ，

則有，

所以的一組解為

設直線與平面所成角為，

則

又∵img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/02/09/10/12b67617/SYS201902091002258755809350_DA/SYS201902091002258755809350_DA.024.png" width="60" height="33" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> =，

所以與平面所成角的正弦值為．