Question

【題目】如圖，某學校擬建一塊五邊形區域的“讀書角”，三角形區域ABE為書籍擺放區，沿著AB、AE處擺放折線形書架（書架寬度不計），四邊形區域為BCDE為閱讀區，若∠BAE＝60°，∠BCD＝∠CDE＝120°，DE＝3BC＝3CD＝m．

（1）求兩區域邊界BE的長度；

（2）若區域ABE為銳角三角形，求書架總長度AB+AE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）連接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB＝∠CBD＝30°，∠CDE＝120°，可得∠BDE＝90°，利用勾股定理即可得解BE的值；（2）設∠ABE＝α，由正弦定理，可得AB＝4sin（120°﹣α），AE＝4sinα，利用三角函數恒等變換的應用化簡可得AB+AE＝12sin（α+30°），結合范圍60°＜α+30°＜120°，利用正弦函數的性質可求AB+AE的最大值，從而得解．

⑴連接BD，在△BDC中，，∠BCD=120°，

由余弦定理,

得，得

又BC=CD，∠BCD=120°，

，.

△ABE中，BD=3，，由勾股定理.

故.

⑵設，

則,

在△ABE中，

由正弦定理.

，，

故

=

，

△ABE為銳角三角形，

故，，

，

所以暑假的總長度AB+AE的取值范圍是，