Question

已知點A(1，

2

)是離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)上的一點．斜率為

2

的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點A(1，

2

)是離心率為

2

2

的橢圓C上的一點，建立方程，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，計算出三角形的面積，利用基本不等式，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

2

2

=

c

a

，

1

b2

+

2

a2

=1，a²=b²+c²
∴a=2，b=

2

，c=

2

∴橢圓方程為

x2

2

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）設直線BD的方程為y=

2

x+b
由

y= 2 x+b 2x2+y2=4

，消去y可得4x2+2

2

bx+b2-4=0
∴x1+x2=-

2

2

b，x1x2=

b2-4

4

，
由△=-8b²+64＞0，可得-2

2

＜b＜2

2

∴|BD|=

1+( 2 )2

|x1-x2|=

3

△

4

=

3

64-8b2

4

=

6

2

8-b2

，
設d為點A到直線BD：y=

2

x+b的距離，∴d=

|b|

3

∴S△ABD=

1

2

|BD|d=

2

4

(8-b2)b2

≤

2

，
當且僅當b=±2∈(-2

2

，2

2

)時，△ABD的面積最大，最大值為

2

．…（12分）

點評：本小題主要考查橢圓的方程的求法，考查弦長公式的應用和利用均值不等式求最值的方法，考查思維能力、運算能力和綜合解題的能力．