Question

已知點A(1，

1

3

)是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數列a_n的前n項和為f（n）-c，數列b_n（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）若數列{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n，問滿足T_n＞

1000

2011

的最小整數是多少？
（3）若Cn=-

2bn

a n

，求數列C_n的前n項和P_n．

Answer 1

分析：解：（1）根據an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=-

2

3n

求出{a_n}的通項公式；根據Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

求出{

Sn

}的通項公式，進而求出S_n，b_n的通項公式．
（2）根據b_n的通項公式，通過列項相消的方法求出{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n進而解出n．
（3）先求出C_n的通項公式，然后利用錯位相減法求出C_n的前n項和P_n．

解答：解：（1）∵點A(1，

1

3

)是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點f(1)=a=

1

3

∵等比數列a_n的前n項和為f（n）-c
∴當n≥2時，an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=-

2

3n

∵{a_n}為等比數列
∴公比q=

an

an-1

=

1

3

∵a2=-

2

9

=a1q=[f(1)-c]•

1

3

=(

1

3

-c)•

1

3

∴c=1，a1=-

2

3

，an=-

2

3n

（3分）
由題設可知數列b_n（b_n＞0）的首項為b₁=c=1Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
∴(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

∴

Sn

-

Sn-1

=1
∴數列{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數列．
則

Sn

=n，S_n=n² b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
當n=1時，b₁=1，也滿足b_n=2n-1
數列{b_n }的通項公式．b_n=2n-1（6分）
（2）∵b_n=2n-1
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

++

1

bnbn+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

要使T_n＞

1000

2011

，
則

n

2n+1

＞

1000

2011

，即n＞90

10

11

∴滿足T_n＞

1000

2011

的最小整數為91（11分）
（3）∵an=-

2

3n

，b_n=2n-1
∴Cn=-

2bn

a n

=（2n-1）•3ⁿP_n=1•3+3•3²+5•3³++（2n-1）•3ⁿ①
3P_n=1•3²+3•3³+5•3⁴++（2n-1）•3ⁿ⁺¹..②
①-②得：-2P_n=3+2（3²+3³+3⁴+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=3+2•

32(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
∴P_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．（16分）

點評：本題是數列與函數的綜合題目，用到了列項相消，錯位相減等一些數列的基本方法，綜合性比較強，考查點比較全面．