Question

【題目】設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若 ，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解： =2cos2x+ sin2x

= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1

令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：當(dāng) 時(shí)，2x+ ∈[﹣ ， ]．

∴2sin（2x+ ）∈[﹣ ， ]，得y=2sin（2x+ ）+1∈[﹣ +1，2]

即函數(shù)f（x）在區(qū)間 的值域是[﹣ +1，2]

【解析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合二倍角的三角公式化簡(jiǎn)整理，得f（x）═2sin（2x+ ）+1．再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的公式，解不等式可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）根據(jù) 易得2x+ ∈[﹣ ， ]．結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得2sin（2x+ ）∈[﹣ ， ]，由此不難得到函數(shù)f（x）在區(qū)間 的值域．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識(shí)，掌握兩角和與差的正弦公式：．