Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且斜率大于0的直線與橢圓相交于點， ，直線， 與軸相交于， 兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）運用橢圓的離心率公式的關系，以及點在橢圓上，列出方程；（2）設直線的方程為，聯立橢圓方程，消去得，由判別式大于零，運用韋達定理，再將表示為關于的函數式，分離常數，進而可得結果.

試題解析：（1）橢圓的離心率為，所以，

過點，則，

橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為， ， ，

直線的方程為，可得，即，

直線的方程為，可得，即.

聯立，消去，整理得.

由，可得， ， ，

，

，

，

因為， ，所以，因此，即，

的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍問題，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中范圍問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，單調性法求的范圍的.