Question

【題目】已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2 ，EB=BC=2，點F為CE上一點，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求三棱錐A﹣DBE的體積；
（3）求二面角D﹣BE﹣A的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC交BD于G，連結GF，

∵ABCD是矩形，∴G為AC的中點，

由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，

由EB=BC知：點F為CE中點，

∴FG為△ACE的中位線，

∴FG∥AE，

∵AE平面BFD，FG平面BFD，

∴AE∥平面BFD．

（2）解：由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，

由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，

∵BC∩BF=F，∴AE⊥平面BCE，則AE⊥BE，

∴VA﹣DBE=VD﹣ABE= ，

即三棱錐A﹣DBE的體積為 ．

（3）解：由（2）知：AE⊥BE，AD⊥BE，

∴BE⊥平面ADE，則BE⊥DE，

∴∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角

在Rt△ADE中，DE= =4，

∴AD= DE，則∠DEA=30°，

∴二面角D﹣BE﹣A的大小為30°

【解析】（1）連接AC交BD于G，連結GF，則G為AC的中點，推導出BF⊥CE，FG為△ACE的中位線，由此能證明AE∥平面BFD．（2）推導出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，從而AE⊥BE，由VA﹣DBE=VD﹣ABE ， 能求出三棱錐A﹣DBE的體積．（3）由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BE﹣A的大小．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．