Question

如圖所示，在四面體中，，，兩兩互相垂直，且．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的大小；

（3）若直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)度．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析   （2）二面角的大小為．   （3）．

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中面面垂直的證明，以及二面角的求解，和線面角的求解的綜合，同時(shí)考查了同同學(xué)們的空間想象的能力和邏輯推理能力和計(jì)算能力的運(yùn)用。靈活運(yùn)用定理和性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題的運(yùn)用。

（1）對(duì)于面面垂直的判定，一般通過(guò)線面垂直的判定定理得到。關(guān)鍵是判定CD垂直于平面ABC

（2）利用三垂線定理作出二面角，然后利用直角三角形來(lái)求解得到角的運(yùn)算

（3）利用線面垂直，找到斜線BD與平面ACD的所成的線面角是解決該試題的關(guān)鍵

（1）∵ ，，∴ 平面．又平面，

∴ 平面平面．          …… …… …… 4分

（2）∵ ，，∴ 平面．∴ ．

∴ 是二面角的平面角．   …… …… 6分

在中，∵ ，∴ ．∴ 二面角的大小為．

（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．∵ 平面平面，   ∴ 平面，∴ 為與平面所成的角．∴ ．  

在中，，∴ ．又∵在中，，∴ ，∴ 在中，．