Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若對x∈R，都有f（2x）﹣1≤f（x），則實數a的最大值為（　　）
A.
B.
C.
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f（2x）﹣1≤f（x）恒成立，即|2x﹣a|﹣|2x﹣4a|﹣1≤|x﹣a|﹣|x﹣4a|恒成立，
即|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立．
此不等式中，絕對值的“根”共有4個： ， a，2a，4a，
當x＜時，不等式即 a﹣2x+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即0≤1．
當≤x＜a時，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即2x﹣≤a，故有2a﹣≤a，即a≤ ．
當a≤x＜2a時，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+4a﹣2x+1，即x≤ ．
當2a≤x＜4a時，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+2x﹣4a+1，即 8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤ ．
當x≥4a時，不等式即 2x﹣a+x﹣4a≤a﹣x+2x﹣4a+1，即0≤1．
綜上可得，a≤ ， 故a的最大值為 ，
故選：B．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．