Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若函數在點處切線方程為y=3x+b，求a,b的值；

（Ⅱ）當a＞0時，求函數在[1,2]上的最小值；

（Ⅲ）設，若對任意 ，均存在，使得，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）詳見解析（3）

【解析】試題分析：已知函數在某點處的切線方程的斜率，根據導數的幾何意義，函數在某點處的導數值即為切線的斜率，再利用切點即在切線上又在曲線上，列方程求出；針對參數進行討論研究函數的最值，對任意 ，均存在，使得，求出的范圍.

試題解析：

（Ⅰ）由得, 則， 點為切點，則

（Ⅱ）由

①當,即時,函數在區間[1,2]上是減函數,

∴的最小值是.

②當，即時，函數在區間[1,2]上是增函數，

∴的最小值是.

③當，即時，函數在上是增函數，在是減函數．

又，

∴當時,最小值是；

當時,最小值為.綜上可知,當時, 函數的最小值是；

當時，函數的最小值是.

（Ⅲ）由條件得，又∵，∴．

若，則在上單調遞增， ，不符題意

由Ⅱ可知得