Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點．
（I）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（ II）若PC=，求三棱錐C-ABE高的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由PC=，知△PBC為等腰直角三角形，則S_△BCE=S_△PBC=，
由（Ⅰ）知，AC為三棱錐A-BCE高．
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA=PB=AB=2，
∴S_△ABE=S_△PAB=，
設三棱錐C-ABE的高為h，
則S_△ABE•h=S_△BCE•AC，即×h=××，
∴h=，
∴三棱錐C-ABE的高等于．
分析：（Ⅰ）由題意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，從而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可證得平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）由PC=，知△PBC為等腰直角三角形，又AC為三棱錐A-BCE高，設三棱錐C-ABE的高為h，由S_△ABE•h=S_△BCE•AC即可求得h．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查點、線、面間的距離計算，突出幾何體體積輪換公式的考查與應用，屬于中檔題．