Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點(diǎn)，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：△ABD中
∵AB=AD=

2

，O是BD中點(diǎn)，BD=2
∴AO⊥BD且AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，連結(jié)OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD
（2）取AC中點(diǎn)F，連結(jié)OF、OE、EF
△ABC中E、F分別為BC、AC中點(diǎn)
∴EF∥AB，且EF=

1

2

AB=

2

2

△BCD中O、E分別為BD、BC中點(diǎn)
∴OE∥CD且OE=

1

2

CD=1
∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF（或其補(bǔ)角）
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線
∴OF=

1

2

AC=1
∴等腰△OEF中cos∠OEF=

1 2 EF

OE

=

2

4

．