Question

設離心率的橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點，以PF₁為直徑的圓經過橢圓M短軸端點，且該圓和直線相切，過點P的直線與橢圓M相交于相異兩點A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點A、B關于x軸對稱，直線BC交x軸與點Q，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設以|PF₁|為直徑的圓經過橢圓M短軸端點N，則|NF₁|=a，由可得a=2c，由此可得，再由|PF₁|的長可判斷F₂為圓的圓心，根據圓與直線相切，可解得c值，從而可求得a，b；
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），易知點B（x₁，-y₁），設直線PA的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由△＞0得k²范圍，由點斜式寫出直線BC的方程，令y=0，由韋達定理可得Q點橫坐標，利用向量數量積運算及韋達定理可把表示為k的函數，由k²的范圍即可求得的范圍；
解答：解：（Ⅰ）設以|PF₁|為直徑的圓經過橢圓M短軸端點N，
∴|NF₁|=a，∵，∴a=2c，
∴，|PF₁|=2a．
∴F₂（c，0）是以|PF₁|為直徑的圓的圓心，
∵該圓和直線相切，
∴，解得，
∴橢圓M的方程為：．
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點B（x₁，-y₁），
設直線PA的方程為y=k（x-3），
聯立方程組，消掉y，化簡整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0，得．
則．
直線BC的方程為：，
令y=0，則．
∴Q點坐標為．

=
=
=．
∵，
∴．
點評：本題考查直線、橢圓方程及其位置關系，考查向量的數量積運算，考查函數思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大，對能力要求較高．