Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+2相切，
（Ⅰ）求a與b；
（Ⅱ）設該橢圓的左，右焦點分別為F₁和F₂，直線l₁過F₂且與x軸垂直，動直線l₂與y軸垂直，l₂交l₁于點P，求線段PF₁垂直平分線與l₂的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型。

Answer 1

解：（1）由于e=，
∴，∴，
又，
∴b²=2，a²=3，因此，。
（2）由（1）知F₁，F₂兩點分別為（-1，0），（1，0），
由題意可設P（1，t）（t≠0），
那么線段PF₁中點為N（0，），
設M(x、y)是所求軌跡上的任意點，
由于=（-x，-y），=（-2，-t），
則，
消去參數t得y²=-4x（x≠0），其軌跡為拋物線（除原點）。