Question

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，
底面
（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）當時，在線段上是否存在一點使二面角為，若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：在中，
∵
∴
∴，得
又∵底面
∴斜線在底面內的射影為
∴由三垂線定理，得
故，                     …………………………………4分
（Ⅱ）以為原點，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則


設是平面的法向量，則
取，得
∴是平面的一個法向量。
同理可求：是平面的一個法向量
∴………………………………7分
故，二面角的余弦值
（Ⅲ）顯然是平面的一個法向量，可是
因得從而，得

設是平面的法向量，同（Ⅱ）容易解得是平面 的一個法向量。
由題意，得 ………………12分
即，注意到解得
故，當點在線段上，且滿足時，二面角為

略