Question

已知過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F斜率是1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若

AF

=2

FB

，則橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A（m，m-c），B（ n，n-c），由

AF

=2

FB

 得 m+2n=3c ①，再根據(jù)橢圓的第二定義，

AF

FB

=2=

a2 c -m

a2 c -n

，可得 2n-m=

a2

c

  ②，由①②解得 m 和 n的值，再代入橢圓的第二定義，e=

BF

d

=

(n-c)2+ (n-c-0)2

a2 c -n

=

2 - 2 e2

3-3e2

，解方程求得e的值．

解答：解：右焦點(diǎn)F（c，0），直線的方程為  y-0=x-c． 設(shè) A（m，m-c），B（ n，n-c），
由

AF

=2

FB

 得 （c-m，c-m）=2 （n-c，n-c），∴c-m=2（n-c），m+2n=3c ①．
再根據(jù)橢圓的第二定義，

AF

FB

=2=

a2 c -m

a2 c -n

，∴2n-m=

a2

c

  ②，
由①②解得   m=

3c2-a2

2c

，n=

3c2+a2

4c

．
據(jù)橢圓的第二定義，e=

BF

d

=

(n-c)2+ (n-c-0)2

a2 c -n

=

2 n- 2 c

a2 c -n

 
=

2 a2- 2 c2

3a2-3c2

=

2 - 2 e2

3-3e2

，
∴3e³-3e-

2

e²+

2

=0，（e²-1）•（3e-

2

 ）=0．∵0＜e＜1，
∴e=

2

3

，故橢圓的離心率是 

2

3

，故答案為 

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．